উদ্দীপকের রোলের সমতুল্য মান-

1. (63)₁₀ 

ii. (111111)₂

iii. (3F)₁₆ 

নিচের কোনটি সঠিক?

একটি অক্টাল (Octal) সংখ্যাকে অন্যান্য সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করার জন্য নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসরণ করতে হয়। এখানে \( (77)_8 \) সংখ্যাটিকে দশমিক (Decimal), বাইনারি (Binary) এবং হেক্সাডেসিমেল (Hexadecimal) সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করে বিকল্পগুলো যাচাই করা হলো:

১. অক্টাল থেকে দশমিক সংখ্যায় রূপান্তর:

যেকোনো ভিত্তির সংখ্যাকে দশমিকে রূপান্তরের জন্য সংখ্যাটির প্রতিটি অঙ্কের সাথে তার স্থানীয় মান (Place Value) গুণ করে যোগ করতে হয়। অক্টাল সংখ্যার ভিত্তি ৮।

\( (77)_8 \)

\( = 7 \times 8^1 + 7 \times 8^0 \)

\( = 7 \times 8 + 7 \times 1 \)

\( = 56 + 7 \)

\( = (63)_{10} \)

সুতরাং, বিকল্প i. \( (63)_{10} \) সঠিক।

২. দশমিক থেকে বাইনারি সংখ্যায় রূপান্তর:

দশমিক সংখ্যাকে বাইনারিতে রূপান্তরের জন্য সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে বারবার ভাগ করে ভাগশেষগুলো (Remainder) উল্টো দিক থেকে সাজাতে হয়।

    
• \( 63 \div 2 = 31 \) ভাগশেষ \( 1 \)
    
• \( 31 \div 2 = 15 \) ভাগশেষ \( 1 \)
    
• \( 15 \div 2 = 7 \) ভাগশেষ \( 1 \)
    
• \( 7 \div 2 = 3 \) ভাগশেষ \( 1 \)
    
• \( 3 \div 2 = 1 \) ভাগশেষ \( 1 \)
    
• \( 1 \div 2 = 0 \) ভাগশেষ \( 1 \)

ভাগশেষগুলো নিচ থেকে উপরে সাজিয়ে পাই: \( (111111)_2 \)

সুতরাং, বিকল্প ii. \( (111111)_2 \) সঠিক।

💡 বিকল্প পদ্ধতি (অক্টাল থেকে সরাসরি বাইনারি):

প্রতিটি অক্টাল অঙ্ককে তার ৩-বিট বাইনারি সমতুল্য দিয়ে প্রতিস্থাপন করে সরাসরি বাইনারি পাওয়া যায়।

    
• অক্টাল \( 7 = (111)_2 \)

অতএব, \( (77)_8 = (111 \, 111)_2 = (111111)_2 \)

৩. দশমিক থেকে হেক্সাডেসিমেল সংখ্যায় রূপান্তর:

দশমিক সংখ্যাকে হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তরের জন্য সংখ্যাটিকে ১৬ দিয়ে বারবার ভাগ করে ভাগশেষগুলো উল্টো দিক থেকে সাজাতে হয়। হেক্সাডেসিমেল পদ্ধতিতে \( 10 = A, 11 = B, \dots, 15 = F \) হয়।

    
• \( 63 \div 16 = 3 \) ভাগশেষ \( 15 \) (যা F এর সমতুল্য)
    
• \( 3 \div 16 = 0 \) ভাগশেষ \( 3 \)

ভাগশেষগুলো নিচ থেকে উপরে সাজিয়ে পাই: \( (3F)_{16} \)

সুতরাং, বিকল্প iii. \( (3F)_{16} \) সঠিক।

💡 বিকল্প পদ্ধতি (বাইনারি থেকে সরাসরি হেক্সাডেসিমেল):

বাইনারি সংখ্যাটিকে ডানদিক থেকে ৪টি বিট করে গ্রুপ করে প্রতিটি গ্রুপকে তার হেক্সাডেসিমেল সমতুল্য দিয়ে প্রতিস্থাপন করে সরাসরি হেক্সাডেসিমেল পাওয়া যায়। প্রয়োজন হলে বামদিকে শূন্য (0) যোগ করে ৪-বিটের গ্রুপ তৈরি করতে হয়।

\( (111111)_2 \)

ডানদিক থেকে ৪-বিট করে গ্রুপ করলে: \( (0011 \, 1111)_2 \)

    
• \( 0011_2 = 3_{16} \)
    
• \( 1111_2 = F_{16} \)

অতএব, \( (111111)_2 = (3F)_{16} \)

যেহেতু i, ii এবং iii তিনটি বিকল্পই সঠিক, তাই সঠিক উত্তর হলো i, ii ও iii।